高中函数奇偶性

  没有初2113法,而且如果没有f连续性这个条5261不能f为偶函数的4102

  讲一下用函数极限的吧1653:令x=y=0,可以得出f(0)=-1

  令y=-x,可以得出f(x)+f(-x)=2x^2-2 (我们可以发现,如果f为偶,则f=x^2-1)

  令g(x)=f(x)-x^2+1,我们只需证明g(x)在R上恒为零。

  把g(x)代入方程f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,得到

  g(x+y)=g(x)+g(y) 此外还有g(1)=g(0)=g(-1)=0 这是关于g的所有的性质了(即g的任何一个性质都可以由上面这两条推出来)。

  由这些,我们容易得出

  注意,如果f没有连续性,那么g也没有连续性,我甚至可以直接令g(1/3)=1 ,这样确实就得到一个g不恒为零的函数了(你可以感觉一下,确实f(1/3)=1与上面两条关于g的性质无法得出矛盾。)

  好了。。。现在我们加上f的连续性条件

  由于任意x属于(0,1),我可以用二进制写成 x=

  正无穷 正无穷

  ∑(ai×2^(-i)) 其中ai=0或1 所以g(x)=∑g(ai×2^(-i) )=0 (注意:这里的等号就是因为g连续)

  i=1 i=1

  那么任意一个实数y,都有y=n+x,其中x属于(0,1),n为整数,于是g(y)=n*g(1)+g(x)=0

  所以g恒为零于是f(x)=x^2-1 为偶函数

  1

  非奇非偶

  因为f(x)f(-x)而且2113f(-x)不等于-f(x)

  你可5261以通过f(x)中的x的次数一个4102为一个偶看出来

  2第二个题1653没参数

  我没做

  但我可以告诉你f(x)的对称轴为x=-1开口向上在【-1,+无穷

  上位增的